数学真的讨人厌吗?和专家聊聊生活中的数学

作者:中央研究院《研之有物》

台铁沙崙站的扭曲图形公共艺术,镜子柱投影显现地面上的黑面琵鹭。(摄影/林婷娴)

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(原标题:数学真的讨人厌吗?和李国伟聊聊生活中的数学)

生活中的数学

赏心悦目的艺术、每天使用的电脑,竟然都源于数学?中研院数学所的李国伟兼任研究员,分享数学如何藏身于我们的生活中。

数学考题写不出来,是许多人难忘的痛苦经历。数学真的那么讨人厌吗?数学家李国伟为数学“平反”,他认为数学让学生讨厌,是因为现行的教育多强调“解难题”。当难题解不出来,就会开始怀疑:数学到底可以做什么?

数学可以变成艺术

李国伟举例,台铁沙崙站有个公共艺术,是“扭曲图形”的作品。地面上的图形让人看不出个所以然,但是投影至柱状镜子里却能看见黑面琵鹭。这类扭曲投影图形不只是好看,而是源自于大航海时期的地图投影变形,把地球表面的资讯透过投影、换算画成地图,这就是一种数学。

还有让人目眩神迷的“伊斯兰艺术”,也运用到几何学。伊斯兰教的核心是真主,不能崇拜偶像,但要用什么来装饰清真寺呢?于是使用许多抽象的几何图形。匠人重复某些基本的几何图形,创作出看起来非常复杂的花纹,除了象征阿拉不可分割、无穷无尽的本质,这个边要如何对那个边,这个点要如何对那个点,这也是数学。

非常简单的操作,反复使用的时候,表象就变得非常复杂。这给我们很深刻的哲学启示:宇宙看起来这么复杂,可是它后面的真理说不定很简单。

数学刺激艺术,艺术又刺激数学。现代电脑影响人们的思维,许多当代艺术融入理性化的几何图形,例如克卜勒星形正多面体的公共雕塑。另外,从折纸艺术延伸,现今航太科技也运用“折纸工程”,利用折痕来增加纸张材料的强度、节省运送空间与重量。一张纸如何折才能达到目的,这也需要数学来计算。

李国伟秀出一颗球形的组合折纸,是女儿先用纸张折了许多小元件,再将小元件组成球形结构。“这很不简单,曾经掉到地上散了,只好再请我女儿把它组回来。”(摄影/张语辰)

古老数学游戏藏着大学问

数学除了成为“艺数”,也可以用来玩游戏。有一类组合优化问题,目前还没有解决,成为悬赏 100 万美元的 21 世纪七大数学难题之一。

李国伟说,这类难题源自于 19 世纪汉弥尔顿 (William Rowan Hamilton) 发明的“环游世界”数学游戏 (Icosian Game):把一个正 12 面体的 20 个顶点分别标上倫敦、巴黎、北京、东京、华盛顿等 20 个大都市的名字,要求玩的人从某个城市出发、沿着正 12 面体的稜边,通过每 1 个城市只能 1 次,最后再回到出发的城市。

汉弥尔顿的环游世界游戏牵涉到图论 (Graph Theory) ,比较容易的作法,是先把正 12 面体的图压扁成平面图,再于平面图中找出通过所有点各一次的圈,也就是汉弥尔顿回圈。(资料来源/Hamiltonian Graph)

图论 (Graph Theroy)是什么呢?简单说就是透过点、线的组合,找出最省时间空间的答案。

李国伟致力于图论的研究,其中一个重要的问题是“着色理论”:如何用最少的颜色,将一张图上的所有顶点上色,且相连接的顶点不能同色。

李国伟说明,这种组合数学的问题,答案一定存在,但是实际求解的时候,希望找到最有效率、最节省资源的解,这就是“组合优化”的问题。当然可以每个点都涂不同颜色,但如此一来就用掉太多颜色。这类问题更进一步成为计算机科学里面“算法”的学问。

图论也可以换个形式,在各个点填入数字,变成训练理解“离散数学”的模型工具,在各个分散的数字中,寻找有特殊结构的集合。李国伟也钻研数学史,发现有趣的“离散数学”案例,来自清末太平天国时期保其寿《碧奈山房集》书中的“六道浑天图”。这种图形充满神秘感,如同西方的魔方阵 (magic square) 蕴藏数学的构造原理。

《碧奈山房集》作者保其寿的后人——清大退休教授徐统,赠送给李国伟的手制“六道浑天图”纸模型。(图片来源/论保其寿的浑圆图,作者:李国伟)

“六道浑天图”用六条纸带互相穿插,交错成许多三角形与五边形构成的十二并二十面体,目标是把 91 个数字分别填入图形的顶点与边线,使得每个三角形周边数字总和相同,每个五边形周边数字总和也相同。李国伟认为“六道浑天图”并不是老掉牙的古籍记载而已,它可刺激新的组合数学研究,例如推广到其他规则图形上复杂的定和标数。

19 世纪的西方数学非常发达,虽然西方也有人用心于创作魔方阵 ,但未曾像保其寿在立方体上设计如此复杂的定和标数。“把古老的东西,用现代的数学语言去了解它,然后从它兴起新的数学问题。古为今用,我觉得很有趣!”李国伟看着清末的“六道浑天图”而发出赞叹。

李国伟强调,数学与艺术、文化有很微妙的关联。而他所期盼的数学课,不再只是出难题把人逼疯,而是让学生折纸、动手做,不适合解题的学生也能发挥想法、获得肯定。

最重要的是,有数学的素养,就可以欣赏更多东西,丰富我们的人生!

──转自中央研究院《研之有物》(本文限网站刊登)

责任编辑:杨真

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