從七的倍數積木圖到數學教育法的哲思(第壹章-2)

【大紀元7月21日訊】

*七乘以兩位數：十倍之後（變成十層樓）

上文介紹的是七乘以一位數，下面開始介紹七乘以兩位數。

7*10：第四循環

從這裡要開始進入七的兩位數倍數，它們和七的一位數倍數會有什麼不同嗎？唯一不同的地方在於高度要墊高，變成十層樓。





我們應該在心裡作如是想，這兩欄都是七的一倍，只不過一欄是個位，另一欄是十位，個位是不能有高度的，而十位有高度，是十層，百位是寬和高都有。如果是多加了百位呢？那麼百位欄裡放的是百格版。也就是空中俯瞰圖看起來是七片百格版並列的樣子，如下圖。

從空中俯瞰七的111倍如下：

*七倍的百位數關聯？

在這裡，有一個有意義的問題出現，七的倍數逐次遞增後，在第幾次會超過一百，如果不用符號運算，是否看得出來？如果看得出來，那麼什麼時候出現第一個一千呢？請挑戰自己的心象能力！如果想不出來，那麼動手操作吧！切記，不要再回到符號操作去，請嘗試用各種管道來解決數學，看待數學。

心象法：橘色積木既然有七根，要湊成一片百格版，還需要三根。三根必須從個位欄裡拿，要形成三根積木，必須進入第二循環節的第二次添七倍，即七的五倍才有辦法。因此，答案很顯然的，七的十五倍會超過一百，而且還多出五。

*第一片百格板何時出現？

步驟1.

步驟2.

按照上面的心象法：您可以看出什麼時候會超過兩百嗎？

秘訣：數橘色積木的根數。

七的十五倍時，百位歸零，只有個位欄裡剩下五（看上圖步驟2.）。因此我們還需要取十根橘色積木。這十根橘色積木要從何而來？

六倍、八倍、九倍、十倍，會增加四根橘色積木，還要再增加六根才夠。三個循環節共可增加六根，也就是七的二十九倍位置。因此七的二十九倍就超過兩百了，而且超過三。

還有另一個方法，七的十五倍在個位欄會留下五，十位欄是空的，而百位欄造成一。

那麼七的十五倍的兩倍呢？無疑的，百位欄會出現兩片百格板，但是個位欄加倍之後，變成十。也就是七的三十倍是兩百一十。十表示七的倍數超過一倍，應當再退一倍，也就是七的二十九倍即超過兩百了。因此，七的十五倍是一百零五，七的十九倍是兩百零三，那麼七的幾倍會超過三百呢？

關鍵在於個位欄的五！七的十五倍的三倍定然超過三百，個位欄留下的五變成三倍，是十五。十五是兩個七餘一，所以七的四十五倍應當退兩倍，也就是變成四十三倍餘下一，因此七的四十三倍是三百零一。

大家想想看，七的15倍是105，七的29倍是203，七的43倍是301，那麼接下來呢？





切勿小看這個表格，只要填上數字，七的超過百的所有倍數和它們的積就水落石出了，如果我們用電腦來填，馬上就會被電腦抓出規律。但我們是人腦，人腦不是只抓規律就好，而是要抓規律背後的成因。

如果我們繼續演算下去，就會發現七的43倍再過來是58倍，是406，而不是409，為什麼？

任何人都可以很清楚地見到百位每次加一，個位每次減二，那麼一減二之後，答案卻是六，而不是九，為什麼？

關鍵在於個位欄的積木會以五的倍數增加，第一次是五，第二次是十，第三次則是十五，第四次是二十，第五次是二十五，每一次都應該除七，剩下的才是該留在個位欄的。

(待續)

數學教育博士Dr. Eternal

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