从七的倍数积木图到数学教育法的哲思(结论)

【大纪元7月21日讯】结论：一沙一世界、一花一天堂

注意到七之倍数的个位数和三之倍数的个位数倒过来的情况，是发现现象，但并不是发现原理，能够由观察中发现数学的规律现象是一种功力，但是要发现原理又是更进上一层楼的功力了。

如果仔细观察七的倍数积木法第二种，就是由十根七的积木递减的排法，当不难领悟它的原理，并进而由这个原理推知其它的现象和原理。

因此，数学的研究有三个步骤：

一、观察，找到规律的现象。

二、找出促成此种现象的规律或原理。

三、以这种原理来触类旁其它的现象和原理。

“九九乘法表”是非常有趣的东西，里面有数系的形成原理在内，观察一粒沙可以见出一个世界，但在有些人眼中，一粒沙不过是一粒沙，举脚一踩就过去了。数学可以在很平凡的事物中发现高深的原理，而不是要到图书馆挖掘布满尘埃的罕见典籍。

传统数学教育在教九九乘法方面非常粗糙，它总共只教两样东西:一是把九九乘法表背起来，二是急急忙忙地教乘法计算题和应用题。然而，对于乘法的规律和原理，因此而产生出来的诸多现象变化却是矢口不提的。

许多时候，我很怀疑这是在教数学或学数学吗？我们只教应用，但是并没有教通数学的原理。

美国有一种学派叫做“发现数学”，就是从各种探索活动中发现新的规律现象，然后找出造成此种规律的原理。对小孩子来说，要发现有趣的现象一点也不难，因他们一天到晚都在睁大眼睛留心有新鲜和有趣的事物。但是我们要提供他材料，只叫他对着课本和抽象的符号沉思，他是没有兴趣的。最能让小朋友发现数学的新世界的东西莫过于操作学具，在数学方面，就是数学积木和几何模型了。

解题和活动：看相片和录影带

解数学题目和进行数学活动是不一样的。解题是点到为止，解出答案来就算了，又开始进行下一个毫不相干的题目，可以说思考是断断续续的，点状跳动的，因此有人发明了题组，就是要将散开来的题目以“一个主旨”贯串在一起。不妨说，解题以解出答案为目的，而数学活动却以研究出整个数学意义为目的。

一项数学活动必须要设计到不间断，持续进行下去，直到发现整个系统的原理为止。这就像七的倍数积木排法，不能只排出一个图就满意了，它必须持续进行，而且广通所有变化，才能知道七的倍数意义。求意义和求答案不同：求答案就像照相机一样，快速撷取某个画面；求意义却像看完一整卷录影带，而不是光看一张照片，我们必须要看完一整场电影，我们才知道意义为何。也就是研究数学，应该要研究完整个过程，而不是只撷取当中的一小片段浮光掠影。一个数学主题就像一道河流，有起点，有目的，通向海口的目的。我们本该从起点看到出口，来了解它的整个过程，精神和精华何在。但考试让我们没有办法进行这么重大的任务。

数学活动包括观察和纪录。然而几乎每个小孩子都很容易从积木或几何模型中观察到各种有趣的现象，但是要寻找出促成此种现象的原理，并进一步解释，就不是每个小孩都能独力办到的了。这有赖于大人的引导和支持，鼓励和倾听。大部分的小孩子都不会将他对图案的观察变成文字写下来，但是他可以说得出来，如果有人在旁边倾听的话。甚至有心的家长可以为小孩纪录数学思想。

要培养小小数学家，不是给他一堆纸上作业的习题，而是给他一些能发挥创造力的数学活动。

*图表是必备的：积木即是“手”动图表

要研究数学，图表是必备的，就像统计学，它绝对离不开图表。

如果我们要引导小朋友研究数字的变化，更是离开不了图表。不要以为小朋友年纪小，就看不懂图表。事实上，图表比符号和数字，对任何人来说－不论小孩或大人，都更容易了解。如果我们期望小朋友成为小小数学家，不能不从小就给他数学家的工具，小孩的数学工具当然和大人的有点不同，它必须看起来漂亮、有趣、可以用手摸、能自由搬动。古氏积木是瑞士数学家Cuisenaire发明的，他把这一套积木称之为“有颜色的数字”。积木的长短和不同的颜色就代表数字。从积木的排列图中，可以归纳出许多攻势和法则，可以说积木图即是统计图的一种，很类似长条图，只是它不受限于二度空间，而且横轴、纵轴、和高度可以自订。

如果说研究物理和化学，都需要实验工具，为何单独数学不需要实验工具?数学工具是用来操作，并帮助思考的。但是我们现在似乎以为符号是帮助数学思考的唯一工具，因此我们只会有纸和笔，要到什么时候，我们上起数学课，也会有一个“数学实验室”？

附录：介绍古氏积木

上图的合成六七八要自己粘制，古氏积木中没有。

100：一百有两种颜色，一种是黄色，一种是蓝色，如下。

数学教育博士Dr. Eternal Yen

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