如何教出數學小天才：真正建構式數學的精神(4-1)

【大紀元8月26日訊】

第四章、顏色密碼(color code)

第一節、古氏積木（cuisenaire）顏色的順序由來

數字是有顏色的，這個想法真動人，換成沒有創意的人會說：「你發瘋了嗎？數字哪有顏色？」

然而古氏卻辦到了，他創造了有顏色的數字！大家知道古氏積木顏色的秘密嗎？他可不是隨意上色的喔！這個問題我思考了很久，差點想破腦袋，最後很興奮地發現如下道理：　

第一個關鍵：基本色

就如紅綠燈的號置一樣：紅色、綠色、黃色是基本色！很少人色盲到辨認不出這三種基本色，因此以這三種基本色為底，再變換出其它不同的顏色。

第二個關鍵：色系

有共同性質的數字屬於同一個色系。

色系的分法

1. 二的指數屬紅色系列

一是白色

二是紅色　（西瓜、草莓色）

四是粉紅色

八是巧可力色

十六是玫瑰紅色（我加上的）

三十二是淺粉紅（我加上的）

眼睛懂數學　

最後兩根數棒是我加上去的，這是為了讓大家對二的指數有「視覺」上的感受，有親臨現場的逼真感。

我們的眼睛了解數學，並不是只有頭腦才了解數學。眼睛了解的數學是全腦式的、直觀式的、瞬間發生的、自動的；但頭腦的推理式式了解、是緩慢的、一個步驟一個步驟推進的。

除了眼睛之外，我們的身體也會有數學感，如果想像我們就站在紅色台階上，然後慢慢一階一階往下走，又會生出不同的感受來。

階梯的平行長度是一、二、四、八、十六、三十二，成兩倍增加。有人很敏感地問我一個問題，那麼最高的那一階，白色階梯為什麼又是一呢？這樣看起來就變成 (1,1,2,4.8,16,32)，有矛盾！

答：階梯是無限延長的！它不只會向上增高（指數進入負數的領域），也會向下延長（指數變大）。

這裡引發出來一個有意義的問題，如果要再向下延長，最上面應該擺放什麼積木？如果要再向上增高，最上面應該擺放什麼積木？

第一個問題並不難，三十二的兩倍就是了；第二個問題就比較難回答，一半的白色積木！

　　　　　

回答得出此答案的小朋友，他已經有二的負一次方的概念，所以我說小朋友懂圖像，不懂符號，只要用圖像教他，他什麼都會懂。越是低年級的小朋友越懂圖像，越是高年級的小朋友對圖像越感到挫折，甚至他們有一種錯誤的觀感，就是誤以為圖像是低等數學。

二的「半次方」是什麼？

一個高明的教師，有辦法因學生的領悟程度不同立刻調整課程的內容。例如在上面的例子中，如果學生很快就答出一半的白色積木，表示他知道二的負一次方的概念，教師不妨再問：負數一和零之間總有中間地帶，像是二分之一，那麼二的半次方（二分之一次方）應該座落在什麼地方？自作聰明的高年級小朋友一定傻眼了，但是真正有圖像觀念的小朋友還是答得出來。

請看底下放大圖的紫色區域。

如果是要用古氏積木教二的指數趨向負數的概念，可以用百格版和橘色積木來教。

再回來談積木的色系，把有相同性質的數著上同一色系的顏色，在教數的特質方面是一個相當好的方法。低年級的小朋友很快就會知道指數、質數、因數、倍數、公因數、公倍數等概念，不必等到上高年級，甚至上國中。

古氏積木中的顏色有限，需要的話可以自己噴漆，或者用其它方法上色，或是用方格紙來著色都可以。

指數是屬於國中數學的範圍，但是透過色系法，小朋友可以提早在自然和輕鬆的狀況下「接觸」到指數概念。

我不說學習，而說接觸，學習意味著痛苦和困難，但接觸是比較輕鬆和自然的，接觸兩字的意思，就是要讓它觸摸到，所以觸摸學具是一個好方法。美國教育家杜威說「從做中學」(learning by doing)，就是這個意思；但很不幸地，中國人把這句話誤會了，做數學只停留在動手操作符號的範圍，並沒有實際操作幾何圖形。

2. 三六九的顏色是藍綠色系列

三是萊姆色（蘆筍的顏色）

六是草綠色（蕃茄、西瓜皮的顏色）

九是藍色(藍莓)

當數字加上顏色，又用同一個色系來表示有關聯的數系，不只是能令人印象深刻，即使要不引起小朋友的學習熱忱都很難。

三的指數

上面的積木是逐次加三，並不是逐次乘三，如果要做成三的指數，只需抽換上圖的積木。或者如下排列。

符號數學可以說是一種偷懶教法數學，如果學生會自動在腦海中長出圖像，那麼是他的福氣；如果長不出呢，那就隨他自生自滅了。這就是為什麼許多成人痛恨數學的理由，因為他們在小時候的數學經驗是極不愉快的。然而我們的數學教改，不尋思如何變更課程來讓學生更有效率、更有興趣的學習，只是一味把課程難度降低。這個邏輯彷彿是：既然數學很難，那就不要學了；而不是如果數學很難學的話，那麼我們來改變一下教法和學法。

我在台灣的家長，還有一些老師們，一聽到建構數學就頭痛，一聽到建構兩字就反彈，原因出在編課本的人根本搞不清楚建構數學是什麼。　

　

3. 五、十、十五是橘黃色系列

五是黃色

十是橘色

十五是橙黃色(我加上去的)

4. 為何白色是一呢？

大概是古氏覺得白色是最基礎的顏色吧，所有的顏色都從白色而出，最終也回到白色。米也是白色，這個顏色漂亮吧，再也沒有哪一個食物的顏色比這個顏色更漂亮了。

如果我們把任何顏色逐漸降低色度，那麼所有的顏色最後都會回到白色；如果逐次增強色度，所有的顏色都會變成黑色。

5. 為何二用紅色？

如前文所言，紅色是最強烈的顏色，嬰兒一出生下來，就喜歡紅色。

6. 為什磨黑色是七？

黑色是人人討厭的顏色，特別是小孩，看到黑色積木，碰也不碰。

七是一個特別的數字，它是十個數字中最大的質數，找不到其它和七有關的數字了，所以用黑色表示它的獨特性。

只有質數和它的倍數，才能開發出一個色彩系列，如二的紅色系列，三的綠色系列，五的黃色系列。　

7. 為什麼九是藍色？

九應該是綠色系列，卻冒出來藍色，不知道是什麼原因？只能大概猜想，藍色也是重要的一個基本色，如天空是亮藍色，大海是深藍色，小河是淺藍色，如果積木當中沒有用上藍色，實在很可惜！

不過，根據一項研究指出，藍色使人失去食慾，所以大自然中沒有藍色的水果，除了藍莓勉強可以說是藍色。而香蕉是黃色的，西瓜和蕃茄是紅色的，蔬菜是綠色的，橘子是橘子色的，米是白色的，這些都是好吃的顏色，會引起小朋友的興趣，讓小朋友越看餓。

　　

認識顏色最好到大自然中認識，大自然是最厲害的顏色魔術師，什麼我們意想不到的顏色都調得出來。然而現代的小朋友大多住在都市當中，所見到都是人工顏色，失去了對色彩的敏感度。補救之法是到超級場上看看蔬菜、水果、鮮花，或許能找回一點色彩的敏感度。

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數學教育博士Dr. Eternal Yen

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