數學得分高手(5)圖像式思考的威力

呂宗昕(台灣大學教授)
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上一節中提到理解代數的技巧,現在來談談理解幾何的方法。

圓是幾何學中最美麗的圖形,因為它完整無缺。數學上告訴我們,兩圓心的連線稱為連心線,而連心線的長短又可以反映出兩個圓之間的關係:

(1) 若連心線長度大於兩圓半徑之和,代表兩圓不相交。

(2) 若連心線長度等於兩圓半徑之和,代表兩圓外切於一點。

(3) 若連心線長度大於兩圓半徑之差、且小於兩圓半徑之和,代表兩圓相交。

如果只是硬記以上的文字,不但耗時費力,還會無法充分理解其中含義。這時不如在紙上畫畫圖形,即可清楚明瞭前述內容。

高精度圖片
圓1之半徑為r1,圓2之半徑為r2。連心線O1O2>r1+r2時,兩圓不相交。

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連心線O1O2=r1+r2時,兩圓外切於一點。

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當r1-r2<連心線O1O2<r1+r2時,兩圓必相交。

只要畫出這三個圖形後,就能一目了然,無須再記憶複雜的文字敘述。

再以拋物線為例。數學上對拋物線的定義是:「在同一平面與特定一線及一點等距的點,所形成的圖形稱為拋物線。」

這又是一段不易理解的文字,讓我們以圖像式思考來做說明。首先畫一條直線L,再取一點F,依定義可知所有拋物線上的點均與直線L及點F等距,於是得到下列的圖形:



由上圖可知,拋物線上的任何一點確實與直線L與點F等距。該直線L稱為準線,而點F稱為焦點。

利用類似的圖像式思考法能有效化繁為簡,幫助理解幾何單元中不同的定理與公式。

摘自:《數學得分高手》商周出版社提供@

(http://www.dajiyuan.com)

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