【大紀元8月15日訊】
用積木來代表數量，並藉此明白數量之間的關係，是一種很好的方法。
然而在稱名的社會裡，我們有另類表達方式，一種是給嘴巴說的，另一種是手寫的。
數量的代表物有兩樣：一是圖像，另一是符號。
積木是圖像的一環。
而符號有兩種：
第一種是口裡唸的，給耳朵聽的，稱之為唱名；
第二種是手上寫的，給眼睛看的，稱之為文字，數字，算式，公式等。傳統數學向來發展的是這種，因為它的表達方式比較經濟：乍看之下省力，省時，但結果是並不怎麼省腦，讓大部分的人在當中轉了十幾年，甚至數十年，還轉不出迷宮。
因此我提倡：先圖像後符號！
這就像先學唱歌，再學寫五線譜。唱歌是天然的，一定比學五線譜容易。
口說，也就是唱名，又比書寫符號容易，所以先教唱名，但無論如何，唱名一定要和圖像連結在一起教。
*唱名的教法
1.唸一到十
記得上一章的對應關係積木圖、五色台階、和水晶山嗎？教師要小朋友指著對應關係積木：
步驟一、先唸左欄：「一、二、三、四、五」，再唸右欄：「六、七、八、九、十」。
步驟二、左右欄交替唸：「一六、二七、三八、四九、五十」。
步驟一的「一到十」很容易唸，小朋友不到半分鐘朗朗上口。
步驟二的「一六、二七、三八、四九、五十」，困難度不小。
因為步驟二需要數量對應概念，甚至須了解六是五加一的概念。
小朋友不太容易明白「加」這個字，但她們了解「和」這個字，譬如：「你和我」，所以在教基礎數學時，剛開始我說：「一『和』二是三」，而不說「一『加』二是三」。
背不出來「一六、二七、三八、四九、五十」的小朋友，可以很肯定地說，他並不了解六七八九十是五加上一二三四五的概念。
到底小朋友會唸數字，是基於記憶，還是理解？從這裡可以客觀地看出。
如果是基於理解，那麼這個小朋友即使是倒唸，或者跳一位唸，都是沒有問題的。
倒唸：十九八七六五四三二一。
跳唸：一三五七九，二四六八十。
2.唸十一到十五
3.唸十六到二十
教師把有數字的貼紙貼在積木上，要小朋友指著積木唸：
「一、十六；二、十七；三、十八；四、十九；五、二十」。
在唸十一時，教師可以畫一個弧線，要小朋友連在一起唸快一點，從停頓的十、一，到一口氣唸出十一。
十到十九都不會有困難，但是二十就有困難，因為小朋友會依照前面的邏輯唸「十十」。
這時教師就要把積木豎立起來，告訴他，一個十唸十，兩個十唸二十，三個十唸四十，五個十唸五十，從空中看如下圖：
每一個數都不是獨立存在的，它是在一個數系網裡，它的地位是靠其它數界定的。
十進位就是十進位，有誰會想得到它就是五進位的重複呢？但事實上，我們處在一個對五很敏感的社會中。我們的成語裡面，有許多跟五有關的：
八瓣兒五，八門五花，拔十得五，拔十失五，博覽五車，不為五斗米折腰，麻雀雖小，五臟俱全，墨分五色，銘感五內，目迷五色，大烹五鼎，盜不過五女門，拿三道五，隔三差五，各打五十板，郭公夏五，過五關斬六將，喝五吆三，祭五臟廟，九五之尊，九五之位，七俠五義。
可見數量並不是只存在數學世界的東西，已經廣泛地進入我們的日常語言中來甚至國罵當中例如罵人三八或四九。
*「三八」和「四九」之詞從何而來？
在上一節中，當小朋友會說出「一六、二七、三八、四九、五十」這樣的數組時，代表他了解六七八九十和五的關係。如果沒有用積木教學，這種領悟可說是困難而抽象的。
常聽人罵「三八」或「四九」，但為何不說「三九」或「四八」，成為「倍數」豈不更好？大家有沒有想過這個問題？
當我們學過對應關係積木圖後，就恍然大悟，原來這兩句國罵是數學模式：三對應八，四對應九！請看下圖。
如果用「五進位」，八要寫成13（５），九寫成14（５）。
在這裡揭露一個數學心理學上的秘密：小朋友對十進位並沒有厚愛，他更愛「五進位」，成人也同樣愛五進位，因為視覺上好掌握。我們之所以認為自己喜歡十進位，是一種社會化的過程，也就是我們習慣了。事實上，十進位就是雙重五進位，這樣一想，就不會認為十進位太長了（人無法立即辨識超過七的東西），在視覺上太難掌握，也就是只要把十進位依附在五進位上教，長度的問題將可迎刃而解。
心理學家證明人類的感官無法辨識超過七的東西。
我們可以做一個實驗，在紙上畫幾個點，或者在任意丟出幾個小物件，規定不准數算，在一秒內就要說出個數。
任何人都會得到相同的結果：只要個數超過七，就無法不經數算而辨認出。只要是超過七，我們就要用算的。
為何會這樣呢？只能猜測，當初上帝造人腦時，已經設定好了這個程式！
*雙重五進位的理由：人腦不能辨識超過七
心理學家的這個實驗可以成為一個新鮮又刺激的遊戲，用來挑戰人的腦力和反應。
雖然超過七，我們不能辨識，但是我們可以辨認出有幾組七以內的數量。
我經常和學生玩一個遊戲，每次都會引來學生興奮地尖叫。
把幾個白色積木放進盒子裡，搖一搖，然後打開盒蓋，要學生立即說出有幾個積木。
果然如心理學家所證實的，只要是超過七塊的積木，每個人都會遲疑一下，甚至兩下，或者好久。
那些只遲疑一下，就快速說出有多少的人，他絕對不是從頭數到尾，他用的技巧是分組相加。至於如何分組？依照積木在盒中散佈的圖形而定，比較接近的成為同一組。
譬如盒中有十一個積木時，很可能看到的組數是這樣的：
５，３，３（三個元件）
如果我們從一開始數倒十一，那麼要好多秒；如果我們分成三組，那麼只要一秒。
只要是不超過七組，而每一組內又不超過七的個數，我們就不會難過。那麼是否我們不能屬算超過四十九的東西，不！七中可以再有七，成為七的指數。
*十進位要依賴五進位存在
既然人腦可以辨認到七，那我們為什麼不直接用七進位，何必用十進位呢？又人腦不過七，但我們卻用十進位，豈非矛盾？不！
人有五指，人們天天看到兩個五，因此聰明的人類乾脆把十進位當作雙重五進位來對待，兩個五進位總是比一個七進位來得容易。這也就是就是我為什麼在本書的一開頭，開宗名義就指出，世界上只有五個量，其它的量都是這五個量的排列組合。
珠算就是雙重五進位的證據！在珠算中，九的表示法：5+1+1+1+1，上珠一顆，下珠四顆，總共只有五顆，有超過七嗎？沒有！可以一眼看到有幾顆珠子嗎？可以！
對小朋友而言，珠算還是抽象的東西，因為他不明白，上珠的形狀和下珠相同，為何當作五？
相信很多指導珠算的教師和家長都遭到這種痛苦。
但是在積木教學法中，這種痛苦完全免除。
九的積木表示法：
圖一：
十十加法表二
只要讓小朋友對著上面兩個表格，每天排排積木圖，不消一個星期，他對加五進位和十進位的加法概念都會很透徹！
再回到上文談的既然我們的感官極限是七，七進位應該是更自然的事，為何我們不用七進位呢？世界上有些古老的民族確實是七進位，一星期到現在仍然有七天，就是古代遺留下來的證據。
也許是因為我們有兩隻手，十根手指，每手有五指，我們才這麼偏向五進位和十進位。如果是每隻手有七根指頭，那麼不得了了，我們要用十四進位，頭會更昏。
數學教育博士Dr. Eternal Yen 撰稿，2004/6/16
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